Desarrolló la teoría de las invariantes y la noción del espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional

Tal día como hoy… 14 de febrero de 1943, fallecía David Hilbert

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El 14 de febrero de 1943, fallecía en Göttingen (Alemania) David Hilbert, uno los matemáticos más notorios e influyentes del siglo XX, y máximo representante de la escuela formalista. Sus estudios e investigaciones abarcaron prácticamente todos los campos de la matemática. Desarrolló la teoría de las invariantes y la noción del espacio de Hilbert, uno de los fundamentos del análisis funcional. Aportó también significativos avances en infraestructura matemática, necesarios para el posterior desarrollo de la mecánica cuántica y la teoría de la relatividad.

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CV / Hilbert había nacido el año 1862 en Königsberg, Prusia Oriental, actual Kaliningrado e incorporada a Rusia después de la II Guerra Mundial. Estudió y se doctoró en Matemáticas en la Universidad de dicha ciudad, trasladándose en 1895 a la de Göttingen, donde investigó e impartió docencia durante el resto de su vida. En 1915 invitó a Einstein para que explicara su teoría sobre relatividad general en Göttingen. El intercambio de ideas entre ellos llevó a la forma final de las ecuaciones de campo de la Relatividad General.

David Hilbert, uno los matemáticos más notorios e influyentes del siglo XX, fue el máximo representante de la escuela formalista

Frente a otras concepciones, como el platonismo o el intuicionismo matemáticos, el formalismo sostiene que los enunciados matemáticos son el resultado de las inferencias obtenidas a partir de un sistema de reglas, y que su verdad o falsedad lo es solamente en relación a ellas. Un juego con signos cuyo contenido es el que se les asigna en el cálculo bajo ciertos criterios de combinación, que serían las reglas del juego. Dichas reglas serían como las que sigue un jugador de ajedrez al mover sus piezas, con una «única», pero decisiva, diferencia: mientras que las reglas del Ajedrez son arbitrarias, en las de la Aritmética los números pueden ser referidos a los colectores de percepción por medio de axiomas simples, y con ello nos aportan importantes contribuciones al conocimiento de la naturaleza.  Dicho más simplemente: según el formalismo, las matemáticas no se descubren, sino que se inventan.

Tras jubilarse en 1930, el ascenso de los nazis y las consiguientes purgas en la Universidad lo sumieron en un progresivo aislamiento. Se cuenta que el ministro de educación nazi -otras versiones afirman que fue Goebbles- le preguntó en cierta ocasión cómo veía las Matemáticas una vez depuradas de la influencia judía: “¿Matemáticas? Aquí ya no queda nada de eso”, fue su respuesta. Apenas una docena de personas asistieron a su entierro, de las cuales solo dos eran profesores universitarios. Murió a los 81 años

El hotel infinito de Hilbert

Hilbert elaboró esta construcción abstracta para ilustrar, de forma simple e intuitiva, las paradojas que surgen con el uso del concepto matemático de infinito y los números transfinitos de Cantor. Allá va.

Tenemos el hotel más grande del mundo, con un número infinito de habitaciones. El alojamiento está siempre asegurado.

Con el hotel lleno llega un nuevo cliente. El conserje toma el altavoz e indica a los (infinitos) clientes que se trasladen al siguiente número de habitación. Con ello queda libre la número 1 para el nuevo huésped. Resulta pues que tenemos infinito+1 clientes en el hotel.

Hilbert elaboró esta construcción abstracta para ilustrar, de forma simple e intuitiva, las paradojas que surgen con el uso del concepto matemático de infinito y los números transfinitos de Cantor

Aparece a continuación un guía con una excursión de infinitos turistas. El conserje no se inmuta. Esta vez pide a los huéspedes que multipliquen por dos el número de su habitación actual y que se pasen al número resultante. Con ello los infinitos clientes quedan todos en habitaciones con número par, y se aloja a los nuevos infinitos clientes en las infinitas habitaciones impares. Resulta que ahora hay dos infinitos en el hotel, el conjunto de las infinitas habitaciones pares y el de las no menos infinitas habitaciones impares.

Y llega un nuevo guía que viene con un infinito número de excursiones de infinito número de clientes cada una. Pero el recepcionista sigue sin inmutarse. Ahora se comunica solamente con las habitaciones cuyo número es primo o una potencia de éste, pidiéndoles que eleven el número 2 al número de la habitación en que se encontraban, y que se cambien a ella. Entonces asigna a cada una de las infinitas excursiones un número primo distinto de 2, y a cada uno de los nuevos turistas de cada una de las nuevas excursiones un número (par o impar), de manera que la habitación de cada uno de los turistas se calcula tomando el número primo de su excursión (p) y elevándolo al número que les tocó dentro de su excursión.

Al haber un número infinito de números primos y un número infinito de números, consigue hospedar a un número infinito de infinitos huéspedes en un hotel con solo un número infinito de habitaciones. Es decir, a un número infinito de infinitos en un solo infinito.

Bien por el recepcionista, qué duda cabe. Lo que no sabemos es si había también infinitos libros de reclamaciones con infinitas páginas para atender las infinitas quejas de los infinitos clientes que se quejarían de tan infinito trasiego de habitaciones.

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También un 14 de febrero… se cumplen estas otras efemérides

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